Định lý Menelaus – Wikipedia tiếng Việt

Định lý Menelaus là một định lý cơ bản trong hình học tam giác, được phát biểu như sau: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi

${displaystyle {frac {overline {FA}}{overline {FB}}}cdot {frac {overline {DB}}{overline {DC}}}cdot {frac {overline {EC}}{overline {EA}}}=1.}$

*Phần thuận: Giả sử D, E, F thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.

Vì CG//AB (c.dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có:

${displaystyle {frac {DB}{DC}}={frac {FB}{CG}}}$ (1)
và ${displaystyle {frac {EC}{EA}}={frac {CG}{FA}}}$ (2)

Nhân (1) và (2) và vế theo vế

${displaystyle {frac {DB}{DC}}cdot {frac {EC}{EA}}={frac {FB}{FA}}}$

Từ đó suy ra

${displaystyle {frac {FA}{FB}}cdot {frac {DB}{DC}}cdot {frac {EC}{EA}}=1}$

*Phần đảo: Giả sử ${displaystyle {frac {FA}{FB}}cdot {frac {DB}{DC}}cdot {frac {EC}{EA}}=1}$. Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.

Theo chứng minh ở trên, ta có ${displaystyle {frac {F'A}{F'B}}cdot {frac {DB}{DC}}cdot {frac {EC}{EA}}=1}$

Kết hợp giả thuyết suy ra ${displaystyle {frac {FA}{FB}}={frac {F'A}{F'B}}}$

Hay ${displaystyle {frac {FA}{F'A}}={frac {FB}{F'B}}={frac {FA+FB}{F'A+F'B}}={frac {AB}{AB}}=1}$

Nên F'A = FA và F'B = FB

Do đó F' trùng với F.

Vậy định lý đã được chứng minh.

• Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "Menelaus's Theorem." §3.4 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 66–67, 1967.


• Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 122, 1987.


• Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.


• Grünbaum, B. and Shepard, G. C. "Ceva, Menelaus, and the Area Principle." Math. Mag. 68, 254-268, 1995.


• Honsberger, R. "The Theorem of Menelaus." Ch. 13 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 147–154, 1995.


• Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 42–44, 1928.


• Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.


• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 150, 1991.